肆業博士其實根本就不是博士

在我工資還很低的時候，花了幾百塊錢買了這樣一個燒水壺，可以燒水、保溫、電動出水，就像下面這個圖裡一樣。

現在用了三四年了，我不知道大家有沒有這樣的困惑，即，當每一壺水快要喝完的時候，總是因為水壺的結構，有一部分水打不出來——

你們看上面這個圖就能看到，水每次都是打不完的，剩一點點。

以前經常聽人說什麼“千滾水”對健康有害（雖然已經有人闢謠，但是我們在這裡暫不討論），那如果我一直不洗水壺，這一部分水不就會反覆沸騰嗎？理論上說，比較好的做法是，沒喝完一壺水，都把這個剩下的水倒掉，重新裝水，喝完再倒掉，如此反覆。但是，對於我這種連洗碗都嫌麻煩以至於要用鍋吃飯的人來說，真的是太麻煩了。

於是我就想，如果我每次都不把水倒掉，直接加滿水繼續燒，那我到底會喝掉多少所謂的“千滾水”呢？下面我們就來討論一下這個問題。你們將會看到，其實只要使用一些中學數學的知識，我們就能得出一個粗略的答案。

首先，我們假設每次加水的時候，都把水正好加到了水壺的最大容量，就是圖上那個“最大”刻度線的位置，產品說明書告訴我，這個容量是2。2L。

其次，我們還要假設每次燒水的時候，沒有蒸發，所有的水全部燒開並最後被我喝掉。這個假設是合理的，因為如果我們要考慮蒸發的問題，無非是在總水量上乘以一個略小於1的係數而已。

我實際測量了一下，第二張圖的那個剩餘水量，深度大概5mm，這個深度每次都差不多是這樣，因為這是由水壺的構造決定的。而水壺的直徑，大概160mm。

於是可以知道，水壺的底面積應該是：

水壺容積為2。2L，且從上到下近似為一圓柱體，故水壺內膽高度應該是：

所以我們知道，每次剩餘水量，大概是5mm/110mmm，即全部水量1/22，大概100ml。

下面，我們就可以開始了。假定這個水壺是個新水壺（你們雖然看到我的水壺很髒但是我就是要假定這是個新水壺，不服你們就送我一個新的），那我們的第一壺水燒開並喝“完”（注意這裡有剩餘水量）的時候，我們喝掉了“一滾水”2。1L，還剩餘“一滾水”0。1L。

然後，我們不倒掉這剩餘的0。1L水，開始燒第二壺水。

顯然，我們又加入了2。1L新水，然後一起燒開，這時，我們水壺裡有2。1L的“一滾水”和0。1L的“二滾水”。

然後我們開始喝，應該可以假定，這0。1L的“二滾水”是均勻分佈在整個水壺裡的，於是，我們這次喝掉了21/22的整壺水，相當於喝掉了0。1*21/22L的“二滾水”。這時，壺裡還剩下0。1*1/22的“二滾水”和0。1*21/22的“一滾水”。

這樣說可能太抽象了，我決定畫一張表：

由此就很容易看出，每次喝掉的水的成分：

然後就很容易歸納出，每燒水m次，你喝掉的n滾水的體積：

我這裡假定m不小於3，因為如下圖，很多水壺上都有“除氯”之類的標識（虎牌打錢？），所以討論“二滾水”是沒有什麼意義的。

這樣，你就可以根據上面的公式，算出你燒水多少次，會喝到多少幾滾水。比如，我要討論喝到燒水10000次喝到5滾水的量，就可以直接代入，得

你可以看到，即使你燒水一萬次，（按每天燒三次，大概得燒十年吧）攝入的五滾水量都是很少的，大概連10ml都不到，更不要說“千滾水”了。

可是，問題還沒有結束，我們如果假定水燒的次數越多，對人體越有害，那我們就還需要討論，對於任意給定的m，我們對於“n滾以上水的攝入量”。

由上面的公式，這個攝入量應該是：

我們先寫

稍有中學數學基礎的人就會知道，上式前半部分是等比數列求和，求和非常簡單。而後半部分是一個典型的“等差乘等比數列求和”問題，只需要將等式兩邊乘以公比，再兩式相減，就可以很容易的求出通項公式。

於是，在略去了一些簡單的計算之後，我們有：

然後，我們可以同樣取m=10000和n=5來討論，注意，這次我們可以直接算出在一萬次燒水過程中，我們飲用超過五滾水的量，代入資料，進行簡單計算可以得到：

也就是說，

你在十年裡面，如果每天喝六升多水（相當於5瓶1.25L的雪碧，你自己感受一下），攝入五滾以上水的量大概是90ml，不到一個水壺底的量。

所以，那些有強迫症糾結於燒水壺底下的水要不要倒掉的同學，請放心的飛奔吧，你沒那麼容易被毒死！

最後必須要說一句，我老婆經常說我，你杯子都要跟馬桶一樣髒了，但她不知道的是，其實我們的水壺也是。

而且，我就想問你們一句，你們見過這麼幹淨的馬桶嗎！