三角形的幾個面積公式都是什麼時候發現的？

2021-10-16由學習體會發表于體育

三角形最常用的面積公式（如圖）最早出現在什麼時候？

三角形面積公式

因看似簡單又基礎，估計你會覺得應該是古埃及、古巴比倫，或者是數學得到高度發展的古希臘時期。但是從嚴格意義上，雖然前3個文明都或多或少有些影子，但這個公式的第一次文獻記載卻是公元5世紀的古印度。在《阿里亞哈塔曆書》（Heidi Roupp）“算數篇”第6回中，古印度著名數學家

阿耶波多

準確給出了一般三角形求面積的公式：

“tribhujasya phalashariram samadalakoti bhujardhasamvargah ”譯文：對於一個三角形，底的一半與高的乘積即為其面積

阿耶波多（Āryabhaṭa，公元476年－550年）

阿耶波多（Āryabhaṭa，公元476年－550年）是第一位有記載的印度數學家（古典數學），生平不詳，卻有非凡的成就。他最重要的著作是《阿里亞哈塔曆書》，該書記錄了他精確圓周率π到小數點後5位、推匯出自然數的平方和和立方和公式、研究正弦並稱其“jya”（最終演變為英語中的sine），當然，還有這裡的“三角形面積公式”。

阿耶波多對於印度數學有著特殊的意義，為了紀念他對印度數學的卓越貢獻，1976年——阿耶波多誕生1500週年——印度發射了以其命名的第一顆人造衛星。

阿耶波多是印度數學的先行者，也是世界數學的傳承者，是他第一次記載了三角形最常用的面積公式。但和其他很多數學概念一樣，在這之前，世界其他文明也已經做了很多的嘗試。

古埃及

古埃及作為幾何學的發源地，第一次嘗試性的孕育了許多幾何結論，幾何圖形的面積公式就是其中之一。每年一度的尼羅河氾濫需要“纖繩者”進行重新的土地測量，“纖繩者”是最早的“數學家”，他們需要從經驗中逐步的總結出簡單有效的測量方法以及準則。將土地範圍轉化為有效的幾何圖形、再進行測量計算，這些幾何圖形中常用的就有三角形、梯形、正方形等，經驗性的計算公式得以在“紙草書”中留存來。

尼羅河

這裡是萊恩德紙草書中關於三角形面積的計算公式。由於當時並沒有發明“ ┐”等明顯的直角記號，我們從影象上很難辨別該三角形是直角的還是等腰的。如果是直角三角形，那公式正確。但如果是等腰三角形，這個公式就是一個錯誤的經驗了。

萊恩德紙草書（部分）

根據文［1］的考究，我們更傾向於古埃及人的面積公式為：腰×底÷2 。儘管誤差很大，但這對於建立在經驗基礎上的古埃及幾何已是難能可貴。

巴比倫

再來看看同時期的古巴比倫文明，目前發現的文獻中，並沒有一般三角形面積公式的記載。但是古巴比倫對於正多邊形的興趣要大得多，他們很早就能熟練的計算出正多邊形的面積與邊長的關係。在蘇薩城遺址中，有一塊軟泥板就清楚記載了正三角形等邊長的平方與面積的比值。這些公式都是比較準確地，但是對於其他特殊的三角形，如等腰三角形、直角三角形等卻沒有看到類似的記載，一般的三角形的面積公式也就更不用說了。

古埃及、古巴比倫數學因為處於數學的萌芽期，幾何發展也處於經驗階段，出現錯誤或誤差是值得理解的。那作為數學發展的第一個理性時代——古希臘時期，對於三角形的面積公式是如何記載的呢？

古希臘

勾股定理是直角三角形的一個重要性質，在西方最早由古希臘著名數學家畢達哥拉斯提出並證明，那畢達哥拉斯有提及直角三角形的面積公式嗎？沒有。不但是他，古希臘的其他數學大家（如，歐幾里得、阿波羅尼奧斯等）也沒有相關記載。是不知還是不屑？我們無從得知。但是從公元前3世紀古希臘著名數學家阿基米德（前287-前212年）的著作中我們依舊可以得知一些資訊。

阿基米德（前287-前212年）

阿基米德與17世紀的英國數學家牛頓、18世紀德國數學家牛頓一起，被譽為“數學三大巨頭”。阿基米德無論在純數學領域還是應用數學領域都有卓越的貢獻，他是微積分的先行者，他使用“割圓術”、藉助“逼近思想”，得到圓周率π的近似值3。141851 。

阿基米德的方法是使用圓的內接（和外接）正多邊形來逼近圓的面積。在《圓的度量》一書中，阿基米德從正6形開始、計算到正96邊形，得到了圓周率的下界和上界分別為223/71 和22/7，並計算均值為3。141851，以此為圓周率的近似值。

割圓術

如圖，在這樣的方法中，需要計算正多邊形的面積，或者轉化為等腰△AOD的面積。因此，可以肯定阿基米德是知道等腰三角形（或直角三角形）的一般面積公式的，

即 S△ABC=1/2×|OC|×|AO| （*）

但是到此為止，我們仍然不能確定古希臘數學家是知曉一般三角形的面積公式（*）的，但是到了公元1世紀，古希臘數學家海倫（Heron of Alexandria，公元62年左右）有了一個新的突破。

海倫（Heron of Alexandria，公元62年左右）

海倫生活在古希臘末期，生平不詳，但是相信大家都聽過他，他因為一個三角形公式、與我國南宋時期的著名數學家秦九韶相關聯。這個公式就是“海倫-秦九韶公式”。已知三角形的三邊長為a，b，c則面積可表示為：

海倫的公式

秦九韶的公式

已知三角形三邊求面積，這樣一個比（*）要難度大一些的公式，卻先有了文字記載、並得以證明，是一個奇怪的現象。以古希臘數學家的超人智慧居然沒有記載這樣一個簡單的公式？要知道單憑歐幾里得的《幾何原本》已足以讓當代初中生“受困”，阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線》也讓高中生頭疼不已，更別說阿基米德的著作了。

種種跡象不得不令我們生疑，再加上一個重要事實：古希臘數學家的大部分留世著作，都是源於古阿拉伯數學家的整理。是否古希臘已經得出了這樣一個公式（*），但是相關著作遺失了呢？過了幾百年後，也就是公元5世紀，又後被古印度數學家重新發現或摘錄。終究是推測，也只有待進一步的文獻被髮掘了。

歐洲

再後來的事就清晰一些了，三角形的另一個面積公式：

面積公式（**）

（其中，a、b為三角形兩邊，C為邊c所對角）

因為該公式涉及到建立在直角三角形基礎上的正弦值，而“正弦”擺脫圓的控制而在直角三角形中討論，是16世紀的事。哥白尼的得意門生——奧地利數學家雷提庫斯（Rhaeticus，1514—1574）在《三角學準則》一書中，將正弦函式的定義直接建立在“直角三角形”上，即sinα=對邊/斜邊。因此，可斷定（**）出現在16世紀以後。