知識點：

影片教學：

練習：

練習A

1。 已知是直線上的一個單位向量，向量與都是直線上的向量，分別在下列條件下寫出與的座標：

（1）                        （2）

2。 寫出數軸上零向量的座標。

3。 設數軸上兩點A，B的座標分別為一1，3，求：

（1）向量的座標，以及A與B的距離；

（2）線段AB中點的座標。

練習B

1。 已知是直線上的一個單位向量，直線上向量對應的座標為，判斷下列命題是否正確：

（1）                                （2）

2。 已知是直線上的一個單位向量，與都是直線上的向量，且，求

3。 已知A，B都是數軸上的點，A（3）， 且的座標為一5，求點B的座標，

課件：

教案：

一、教材分析

作為本章的第一課時，本節課的主要內容是向量的座標表示及其運算。它是本章重要的基礎性與前提性內容，它引入了將向量問題代數化的基本手段與方法——向量的座標表示。 本節內容課本上的基本處理方法是在引入一些相關的基礎性的概念之後，透過任意向量都可以正交分解為基本單位向量的線性組合，在向量的正交分解的基礎上抽象概括出向量的座標表示形式，並依據向量的正交分解的本質得到向量座標形式下的運演算法則。 本節課要著力解決三個問題：一是要解決引入向量的座標形式的必要性的問題，以引起學生學習的動機，二是要解決如何引入向量的正交分解及如何由此抽象出向量的座標形式或者說是如何讓學生理解向量座標的本質的問題，三是要解決引入向量座標形式以後如何以座標形式進行運算的問題。作為本節課（本章的第一個課時）來說，第二個問題是重中重之中， 因為如果學生不能理解向量的座標是怎麼來的，它的本質是什麼，就會對後繼學習帶來一定的困難。因此，我們在課上要對這一點特別的重視。

二、教學目標設計：

教學目標

1。瞭解基本單位向量、位置向量、向量的正交分解等概念；

2。會用座標表示向量；

3。掌握向量加法、減法及實數與向量的乘法的座標表示法。

教學重點：如何寫向量的座標以及向量座標形式的運算及其應用；

教學難點： 平面向量座標的意義

教學過程

一、複習回顧

1、向量：既有大小又有方向的量

2、向量的模：向量的大小，即線段的長度

3、相等向量：兩個向量的模相等且方向相同

4、向量加減法：平行四邊形法則、三角形法則

5、實數與向量的乘積：與方向相同，模是模的倍

6、單位向量：模為1的向量叫作單位向量

【說明】複習初中所學的向量知識，為本堂課的學習做鋪墊。這部分可作為學生的預習作業，上課時快速複習一下。

二．學習新課

（一）引入（緊接複習回顧）

練習：如圖，已知為單位向量且，

問題1：如何用表示？

答：

問題2：試作出向量，並用表示

答：由平行四邊形法則，

教師將圖補成平面直角座標系，點即為，而，將點與相聯絡，引發學生思考。

提問：若點為，那麼？（學生猜想）

【說明】以小練習作為引入，自然的引出向量可放入平面直角座標系內，向量可由座標表示，同時在這部分將基本單位向量、位置向量、向量的正交分解這些新概念進行定義。

（二）概念

1、基本單位向量：在平面直角座標系中，方向與x軸和y軸正方向分別相同的的兩個單位向量叫做基本單位向量，分別記為。

2、向量的正交分解 ：將向量表示成兩個相互垂直的基本單位向量的線性組合，這種向量的表示方法我們稱為向量的正交分解。 即，抽象成座標

3、位置向量：以原點O為起點的向量為位置向量， 即為一個位置向量。

由練習可知：任意位置向量都能用表示，即

思考：任意位置向量的座標與它的終點座標是否一一對應？

【說明】此部分在小練習中就已解決

（三）向量的座標表示

思考：對於平面直角座標系內的任意一個向量，我們能將它用基本單位向量表示嗎？

透過向量平移後兩向量相等，可知：在平面直角座標系內，任意一個向量都存在一個與它相等的位置向量。所以，我們研究向量的性質就可以透過研究其相應的位置向量。

平面內任意的一個向量都可以正交分解為基本單位向量的線性組合。即：

==

思考：的座標是否唯一？

不僅是向量的座標，而且也是與相等的位置向量的終點的座標。當將向量的起點置於座標原點時，其終點A的座標是唯一的，所以向量的座標也是唯一的。

顯然，依上面的表示法，我們有：。

（四）向量的座標表示的運算

我們學過向量的運算，知道向量有加法、減法、實數與向量的乘法等運算，那麼，在學習了向量的座標表示以後，我們怎麼用向量的座標形式來表示這些運算呢？

設是一個實數，

因為

所以（1）

（2）

（3）向量 的模：

（4）兩向量相等：

（五）應用與深化

例1。如圖，寫出向量的座標。

解：由圖知

與向量相等的位置向量為，

可知

與向量相等的位置向量為，可知

【說明】 對於位置向量，它的終點的座標就是向量的座標；對於起點不在原點的向量，我們是透過先找到與它相等的位置向量，再利用位置向量的座標得到它們的座標。那麼，有沒有不透過位置向量，直接就寫出任意向量的座標的方法呢？請同學們試著來解決例2

例2。如下圖左，設、是平面直角座標系內的任意兩點，如何用P、Q的座標來表示向量？

解：如上圖右，向量

從而有

總結：任意向量座標=終點座標-起點座標

例3。如圖，平面上A、B、C三點的座標分別為、、。

（1）寫出向量的座標；

（2）如果四邊形ABCD是平行四邊形，求D的座標。

解：（1）

（2）在上圖中，因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以

設點D的座標為，於是有

又 故

由此可得   解得

因此點D的座標為。

【說明】講解重點在於待定係數法的應用

例4、已知向量與，求的座標。

解：因為，

所以

例5、已知平面內兩點的座標分別為  ，求的單位向量

解：因為，，

三．課堂小結：

透過本節課的學習，你收穫了什麼？我們已經學習了利用圖形來進行向量的運算，為什麼還要引進座標運算呢？

四。教學反思

本堂課的第一部分考慮到學生初中已經學過了向量的基本概念，但時間一長難免忘記，而這些知識又是本堂的的基礎，所以我將第一板塊設計為複習回顧，這一部分也可以作為學生的預習作業，課上快速複習一下。緊接著針對複習回顧，我又設計了幾道小練習作為新課的引入，使學生自然的想到向量可以放到平面直角座標系裡內，以O為起點的向量可以用表示，在這部分概念也自然而然的出來了。接著提出思考：對於平面直角座標系內的任意一個向量，我們都能將它正交分解為基本單位向量的線性組合嗎？學生討論，教師啟發。最後得出，由向量平移後，平移後的向量與原向量相等可得：平面內的任一向量都有與它相等的位置向量。於是，學生也就能自然而然的得出，平面內的任一向量都能正交分解。接著，平面向量可以用座標表示也就水到渠成了。然後，由學生推導向量加減法，實數與向量乘積的座標表示。在應用與深化這一板塊上，我主要設計了五個問題，例1目的是為了讓學生在初次接觸座標表示時，加深對位置向量與可化為位置向量的座標的理解，以及舒緩一下學生在較長時間的數學純理論學習中所聚集的緊張或疲勞情緒，為下面的學習作點準備；例2，解決任意向量的座標表示問題，這也是這一節課必須要解決的一個重點問題；例3，講解重點放在待定係數法的應用上；例4、例5是對向量座標表示運算公式的應用。整個一節課，如果用一句話概括基本的設計思路，那就是：低起點（使學生容易入手）、小步走（使學生容易理解）、重視過程（重視知識的發生過程及重視學生的學習過程）、強化訓練（訓練是掌握與提高的有效途徑）。

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