“幾何最值問題”全總結

2021-05-18由我愛壓軸題發表于母嬰

一、基本圖形

所有問題的老祖宗只有兩個：①［

定點到定點

］：兩點之間，線段最短；②［

定點到定線

］：點線之間，垂線段最短。

由此派生：③［

定點到定點

］：三角形兩邊之和大於第三邊；④［

定線到定線

］：平行線之間，垂線段最短；⑤［

定點到定圓

］：點圓之間，點心線截距最短（長）；⑥［

定線到定圓

］：線圓之間，心垂線截距最短；⑦［

定圓到定圓

］：圓圓之間，連心線截距最短（長）。

餘不贅述，下面僅舉一例證明：［

定點到定圓

］：點圓之間，點心線截距最短（長）。

已知⊙O半徑為r，AO=d，P是⊙O上一點，求AP的最大值和最小值。

證明：由“兩點之間，線段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小時點P在B處，最大時點P在C處。即過圓心和定點的直線截得的線段AB、AC分別最小、最大值。（可用“三角形兩邊之和大於第三邊”，其實質也是由“兩點之間，線段最短”推得）。

上面幾種是解決相關問題的基本圖形，所有的幾何最值問題都是轉化成上述基本圖形解決的。

二、考試中出現的問題都是在基本圖形的基礎上進行變式，如圓與線這些圖形不是直接給出，而是以符合一定條件的動點的形式確定的；再如過定點的直線與動點所在路徑不相交而需要進行變換的。型別分三種情況：（1）直接包含基本圖形；（2）動點路徑待確定；（3）動線（定點）位置需變換。

（一）直接包含基本圖形。

例1。在⊙O中，圓的半徑為6，∠B=30°，AC是⊙O的切線，則CD的最小值是。

簡析：由∠B=30°知弧AD一定，所以D是定點，C是直線AC上的動點，即為求定點D到定線AC的最短路徑，求得當CD⊥AC時最短為3。

（二）動點路徑待確定。

例2。，如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB邊上的動點（不與點B重合），將△BCP沿CP所在的直線翻折，得到△B′CP，連線B′A，則B′A長度的最小值是。

簡析：A是定點，B‘是動點，但題中未明確告知B’點的運動路徑，所以需先確定B‘點運動路徑是什麼圖形，一般有直線與圓兩類。此題中B’的路徑是以C為圓心，BC為半徑的圓弧，從而轉化為定點到定圓的最短路徑為AC-B‘C=1。

例3。在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=3/5，將△ABC繞點C順時針旋轉，得到△A’B‘C，點E是BC上的中點，點F為線段AB上的動點，在△A’B‘C繞點C順時針旋轉過程中，點F的對應點是F’，求線段EF‘長度的最大值與最小值的差。

簡析：E是定點，F’是動點，要確定F‘點的運動路徑。先確定線段A’B‘的運動軌跡是圓環，外圓半徑為BC，內圓半徑為AB邊上的高，F’是A‘B’上任意一點，因此F‘的運動軌跡是圓環內的任意一點，由此轉化為點E到圓環的最短和最長路徑。

E到圓環的最短距離為EF2=CF2-CE=4。8-3=1。8，E到圓環的最長距離為EF1=EC+CF1=3+6=9，其差為7。2。

（三）動線（定點）位置需變換。

線段變換的方法：（1）等值變換：翻折、平移；（2）比例變換：三角、相似。

【翻折變換類】典型問題：“將軍飲馬”。

例4。如圖，∠AOB=30°，點M、N分別是射線OA、OB上的動點，OP平分∠AOB，且OP=6，當△PMN的周長最小值為。

簡析：動線段（或定點）應居於動點軌跡的兩側，本題的三條動線段PM、MN、PN在OA、OB的內側。所以本題的關鍵是

把定線段變換到動點軌跡的兩側，從而把三條動線段PM、MN、PN轉化為連線兩點之間的路徑

。如圖，把點P分別沿OA、OB翻折得P1、P2，△PMN的周長轉化為P1M+MN+P2N，這三條線段的和正是連線兩個定點P1、P2之間的路徑，從而轉化為求P1、P2兩點之間最短路徑，得△PMN的周長最小值為線段P1P2＝OP＝6。

例5。如圖，在銳角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC於點D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是。

簡析：本題的問題也在於動線段BM、MN居於動點軌跡AD的同側，同樣把點N沿AD翻折至AC上，BM+MN＝BM+MN’，轉化為求點B到直線AC的最短路徑，即BN‘⊥AC時，最小值為2√2。

【平移變換類】典型問題：“造橋選址”。

例6。如圖，m、n是小河兩岸，河寬20米，A、B是河旁兩個村莊，要在河上造一座橋，要使A、B之間的路徑最短應該如何選址（橋須與河岸垂直）？

簡析：橋長為定值，可以想像把河岸m向下平移與n重合，同時把點A向下平移河寬，此時轉化成n上的一點到A、B的路徑之和最短，即轉化為定點A’到定點B的最短路徑。如下圖：

思路是把動線AM平移至A‘M，A’N+BN即轉化為求定點A‘與定點B之間的最路徑。本題的關鍵是定長線段MN把動線段分隔，此時須透過平移把動線段A’N、BN變為連續路徑，也可以把點B向上平移20米與點A連線。

例7。如圖，CD是直線y=x上的一條定長的動線段，且CD=2，點A（4，0），連線AC、AD，設C點橫座標為m，求m為何值時，△ACD的周長最小，並求出這個最小值。

解析：兩條動線段AC、AD居於動點所在直線的兩側，不符合基本圖形中定形（點線圓）應在動點軌跡的兩側。首先把AC沿直線CD翻折至另一側，如下圖：

現在把周長轉化為A‘C+CD+AD，還需解決一個問題：動線段A’C與AD之間被定長線段CD阻斷，動線段必須轉化成連續的路徑。同上題的道理，把A‘C沿CD方向平移CD的長度即可，如下圖。

現在已經轉化為A’‘D+AD的最短路徑問題，屬定點到定點，當A’‘D與AD共線時A’‘D+AD最短，即為線段AA’‘的長。

【三角變換類】典型問題：“胡不歸”。

例8。如圖，A地在公路BC旁的沙漠裡，A到BC的距離AH＝2√3，AB＝2√19，在公路BC上行進的速度是在沙漠裡行駛速度的2倍。某人在B地工作，A地家中父親病危，他急著沿直線BA趕路，誰知最終沒能見到父親最後一面，其父離世之時思念兒子，連連問：“胡不歸，胡不歸……！”（怎麼還不回來），這真是一個悲傷的故事，也是因為不懂數學而導致的。那麼，從B至A怎樣行進才能最快到達？

簡析：BP段行駛速度是AP段的2倍，要求時間最短即求BP/2+AP最小，從而考慮BP/2如何轉化，可以構造含30°角利用三角函式關係把BP/2轉化為另一條線段。如下圖，作∠CBD=30°，PQ⊥BD，得PQ=1/2BP，由“垂線段最短”知當A、P、Q共線時AP+PQ＝AQ’最小。

【相似變換類】典型問題：“阿氏圓”。

“阿氏圓”：知平面上兩點A、B，則所有滿足PA/PB=k且不等於1的點P的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，故稱阿氏圓，如下圖所示，其中PO：BO＝AO：PO＝PA：PB＝k。

例9。已知A（-4，-4）、B（0， 4）、C（0， -6）、 D（0， -1），AB與x軸交於點E，以點E為圓心，ED長為半徑作圓，點M為⊙E上一動點，求 1/2AM+CM 的最小值。

簡析：本題的主要問題在於如何轉化1/2AM，注意到由條件知在M的運動過程中，EM：AE＝1：2保持不變，從而想到構造相似三角形，使之與△AEM的相似比為1：2，這樣便可實現1/2AM的轉化，如下圖取EN：EM＝1：2，即可得△EMN∽△EAM，再得MN=1/2AM，顯然，MN+CM的最小值就是定點N、C之間的最短路徑。