中考數學壓軸題分析：菱形半形模型問題
2021-10-26由 我愛壓軸題 發表于 母嬰
本文內容選自
2021年麗水
中考數學壓軸題，菱形的半形模型與等腰三角形的分類討論。難度中等，但是模型比較經典，值得學習。
【中考真題】
（2021•麗水）如圖，在菱形
中，
是銳角，
是
邊上的動點，將射線
繞點
按逆時針方向旋轉，交直線
於點
．
（1）當
，
時，
①求證：
；
②連結
，
，若
，求
的值；
（2）當
時，延長
交射線
於點
，延長
交射線
於點
，連結
，
，若
，
，則當
為何值時，
是等腰三角形．
【分析】
（1）①證明全等即可；
②由①的結論可以得到EF與BD平行，根據比例關係，可以求出邊長的比例關係，進而得到面積比。需要綜合相似與面積公式等。難度不大。
（2）本題是典型的半形模型，優先考慮全等。本題涉及等腰三角形存在性的討論，需要分3種情況討論：AM=AN；AM=MN；AN=MN。
根據每種情況，再畫圖，根據全等或相似進行求解。
【答案】
（1）①證明：
四邊形
是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②解：連線
，如圖1所示：
四邊形
是菱形，
，
，
由①知，
，
，
，
，
，
，
，
，
設
，則
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：
四邊形
是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
同理：
，
，
，
是等腰三角形有三種情況：
①當
時，如圖2所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②當
時，如圖3所示：
則
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
③當
時，如圖4所示：
則
，
，
，
，
，
，
；
綜上所述，當
為
或2或
時，
是等腰三角形．