將軍飲馬問題我們比較熟悉了，也就是一條直線上一點到同側兩定點距離之和最小值的問題。

我們之前也求過胡不歸與阿氏圓有關的最短路徑問題，涉及係數不為1的情況。

今天再來介紹一種類似的問題：

【題目】

如圖，在平面直角座標系中，點A（0，1）在y軸上，點B的座標為（3，2），在x軸上面確定一點P使得1/2AP+BP的值最小。

我們說的將軍飲馬問題PA與PB的係數都是為1的。那麼現在係數不為1的時候怎麼辦呢？

如下圖，以AP為邊，構造直角三角形APC，使得PC=1/2AP，就把問題轉化為了求PB+PC的最小值了。

但是點P運動的時候，點C的軌跡是怎樣的呢？

觀察上圖，可以發現點P運動的時候，點C始終在一條直線上面運動。那怎麼確定這條直線呢？

當點P與x軸重合時，點C（C‘）落在x軸上的C‘處，易得△AC’C∽△AOP，可以得到∠AC‘C=90°，所以點C已知在AC’的垂線上面運動，那求最短路徑就不難了。

如上圖，當點B、P、C三點共線時最短，此時點P的座標是（2，0）。

當然，除了可以得到AP的一半，其實也可以將BP放大。相當於求“1/2AP+BP”的2倍的最小值，然後再除以2即可。

如圖，以BP為邊，構造直角三角形BPD，使得DP=2BP，那麼求

1/2AP+BP

就轉化為求

1/2（AP+2BP）

的最小值了，也就是求

AP+DP

的最小值。

那麼可以發現點D的運動軌跡也是直線，當A、P、D共線時最小，點P的座標依然是（2，0）。

其實此類問題和光行最短是類似的，可以把上面的問題看成光的折射問題。

當光由x軸上方的點B射入x軸下方時，可以假設兩個區域是不同的介質，光的傳播方向發生了變化。

光的折射

是指光從一種介質斜射入另一種介質時，傳播方向發生改變，從而使光線在不同介質的交界處發生偏折的現象。

相

對摺射率公式：

真空的折射率等於1，兩種介質的折射率之比稱為相對摺射率。例如，第一介質的折射率為，第二介質的折射率為，則

稱為第二介質對第一介質的相對摺射率。某介質的折射率也是該介質對真空的相對摺射率。於是折射定律可寫成如下形式：

皮埃爾·德·費馬（Pierre de Fermat，1601年8月17日～1665年1月12日），法國律師和業餘數學家。他在數學上的成就不比職業數學家差，他似乎對數論最有興趣，亦對現代微積分的建立有所貢獻。被譽為“業餘數學家之王”。

費馬一生從未受過專門的數學教育，數學研究也不過是業餘之愛好。然而，在17世紀的法國還找不到哪位數學家可以與之匹敵：他是解析幾何的發明者之一；對於微積分誕生的貢獻僅次於艾薩克·牛頓、戈特弗裡德·威廉·凡·萊布尼茨，他還是機率論的主要創始人，以及獨撐17世紀數論天地的人。此外，費馬對物理學也有重要貢獻。一代數學天才費馬堪稱是17世紀法國最偉大的數學家。

費馬原理（Fermat‘s principle）最早由法國科學家皮埃爾·德·費馬在1662年提出：光傳播的路徑是光程取極值的路徑。這個極值可能是極大值、極小值，甚至是函式的拐點。最初提出時，又名“最短時間原理”：光線傳播的路徑是需時最少的路徑。

費馬原理更正確的稱謂應是“平穩時間原理”：光沿著所需時間為平穩的路徑傳播。所謂的平穩是數學上的微分概念，可以理解為一階導數為零，它可以是極大值、極小值甚至是拐點。